Процент – это сотая доля числа.
Процент обозначается символом $%$.
Чтобы проценты представить в виде десятичной дроби, надо значение разделить на $100$.
$35%={35}/{100}=0.35$.
Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
$n%$ от $а={а⋅n}/{100}$
Сколько градусов содержит угол, если он составляет $5%$ от развернутого угла?
Развернутый угол равен $180°$.
Найдем $5%$ от $180°$, для этого ${180°⋅5}/{100}=9°$.
Ответ: $9°$.
Чтобы найти число по его указанному проценту, нужно заданное число разделить на заданную величину процента, а результат умножить на $100$.
Найдите число, $20%$ которого составляют $80$.
Число, $20%$ которого составляют $80$, находим так:
${80⋅100}/{20}=400$.
Ответ: $400$.
Задачи на скидки
Скидка - это снижение цены товара или услуги. Чаще всего скидку указывают в процентах.
Чтобы найти цену товара с учетом скидки необходимо:
- Из $100%$ вычесть процент скидки.
- Найти полученный процент от полной стоимости товара.
Зимняя куртка стоит $4500$ рублей. Сезонная скидка составляет $20%$. Сколько надо заплатить за куртку с учетом скидки?
Найдем, какой процент от начальной стоимости будет составлять стоимость куртки со скидкой:
Посчитаем, сколько составляет $80%$ от $4500$ рублей. Чтобы найти процент от числа, надо заданное число разделить на $100$ и умножить на величину процента.
${4500·80}/{100}=3600$ - стоимость куртки с учетом скидки.
Задачи на вклады, кредиты, наценки
Чтобы найти сумму денег с учетом годовой ставки, необходимо:
- К $100%$ прибавить годовой процент вклада.
- Найти полученный процент от изначального количества денег.
Клиент положил в банк 150000 рублей под $12%$ годовых. Какую сумму он сможет снять через год?
$100%+12%=112%$ - это процент, который составляет сумма денег клиента через год относительно первоначальной суммы.
Найдем $112%$ от $150000$ рублей:
${112⋅150000}/{100}=168000$ рублей.
Ответ: $168000$.
В некоторых задачах на проценты удобно использовать пропорцию, например:
Мешок картошки стоил $200$ рублей. После повышения цены он стал стоить $250$ рублей. На сколько процентов была повышена цена на мешок картошки?
Возьмем за $100%$ изначальную стоимость товара (так как именно с ней мы будем сравнивать стоимость после повышения цены):
Пусть $х%$ - столько процентов составляет новая цена относительно старой.
С этими данными составим и решим пропорцию:
${100%}/{х%}={200}/{250}$.
Произведение крайних членов пропорции равно произведению средних членов пропорции:
$200⋅х=100⋅250$.
$х={100⋅250}/{200}=125%$.
Новая стоимость мешка с картошкой составляет $125%$ относительно начальной цены.
Цена увеличилась на $125%-100%=25%$.
Ответ: $25$.
Рабочая тетрадь по математике стоит $65$ рублей. Сколько тетрадей может купить ученик на $450$ рублей, если действует скидка $8%$?
Найдем, сколько процентов составляет стоимость тетради с учетом скидки:
Найдем $92%$ от $65$ рублей и получим стоимость $1$ тетради со скидкой:
${450}/{59.8}={4500}/{598}≈7.5$
Дробное число тетрадей мы купить не можем, на восемь тетрадей денег не хватит, поэтому ученик сможет купить только $7$ тетрадей.
Ответ: $7$.
Для решения некоторых задач необходимо быть знакомым с термином "сложные проценты" , который часто нужен для решения задач о вкладах, кредитах и пр. Простыми словами, "сложные проценты" возникают тогда, когда мы начисляем проценты на проценты. Давайте разберем на примере.
Допустим мы положили в банк $X$ рублей под $N%$ годовых. И оставили деньги в банке не на один, а на два года. Это значит, что в конце первого года мы смогли бы забрать $X + X*{N/100} = X(1+{N/100})$ рублей, но мы их не забираем, а оставляем на второй год. И теперь как бы сумма нашего "нового" вклада на второй год под $N%$ составляет уже не $X$, а $X(1+{N/100})$ рублей. То есть в течение второго года проценты будут начисляться в том числе на проценты, накопленные за первый год. Итого под конец второго года мы сможем забрать $X(1+{N/100}) + X(1+{N/100})*{N/100} = X(1+{N/100})(1+{N/100}) = X(1+{N/100})^2$.
Если бы мы сделали вклад не на два, а на $Y$ лет, то в конце получили бы $X(1+{N/100})^Y$ рублей.
Уже два года во вторую часть добавлена задача c экономическим содержанием, т. е. задачи на сложные банковские проценты.
Говорят, что имеем дело со «сложными процентами» в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.
В конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов – р%. Тогда в конце n -го этапа значение некоторой величины А , исходное значение которой равнялось А 0 , определяется формулой:
При увеличении и
При уменьшении
Зная, что годовая процентная ставка депозита равна 12%, найти
эквивалентную ей месячную процентную ставку.
Решение:
Если положить в банк A рублей, то через год получим: A 1 = A 0 (1 +0,12)
Если проценты начислялись каждый месяц с процентной ставкой х , то по формуле сложных процентов через год (12 месяцев) А n = A 0 (1 + 0,01х) 12
Приравняв эти величины получим уравнение, решение которого позволит определить месячную процентную ставку A(1 +0,12) = A(1 +0,01x) 12
1.12 = (1 + 0,01x) 12
x = (-1)·100% ≈ 0.9488792934583046%
Ответ: месячная процентная ставка равна 0.9488792934583046%.
Из решения этой задачи можно видеть, что месячная процентная ставка не равна годовой ставке поделенной на 12.
31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 9 930 000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Сергей переводит в банк определённую сумму ежегодного платежа. Какой должна быть сумма ежегодного платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя равными ежегодными платежами?
Решение:
Пусть сумма кредита равна а , ежегодный платеж равен х рублей, а годовые составляют k % . Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент m =1+ 0,01 k . После первой выплаты сумма долга составит : а 1 = am - х. После второй выплаты сумма долга
составит:
а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х
По условию тремя выплатами Сергей должен погасить кредит полностью, поэтому
откуда
При а = 9930000 и k =10 , получаем т =1,1 и
Ответ : 3993 000 рублей.
Теперь когда мы разобрались с этим предложенным во всех решебниках решением, давайте посмотрим на другое решение.
Пусть F = 9 930 000 – величина кредита, x – искомая величина ежегодного платежа.
Первый год:
Долг: 1,1F ;
Платеж: х ;
Остаток: 1,1F-х .
Второй год:
Долг: 1,1(1,1F-х) ;
Платеж: х ;
Остаток: 1,1(1,1F-х)-х .
Третий год:
Долг: 1,1(1,1F-х)-х );
Платеж: х ;
Остаток: 0, потому что по условию было всего три платежа.
Единственное уравнение
1,1(1,1(1,1F-х)-х)-х=0 . 1,331 F =3,31х, х=3993000
Ответ: 3 993 000 рублей.
Однако-1 ! Если предположить, что процентная ставка не красивые 10%, а страшные 13,66613%. Шансы где-то умереть по ходу умножений или сойти с ума при подробном расписывании множителя при величине долга за каждый год резко увеличились. Добавим к этому еще и не маленькие 3 года, а лет 25. Такое решение не сработает.
31 декабря 2014 года Андрей взял в банке некоторую сумму в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем Андрей переводит в банк 3 460 600 рублей. Какую сумму взял Андрей в банке, если он выплатил долг тремя равными платежами (то есть за 3 года)?
Решение.
Пусть а – искомая величина, k% – процентная ставка по кредиту, х – ежегодный платеж. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга будет умножаться на коэффициент m = 1 + 0,01k . После первой выплаты сумма долга составит: а 1 = аm – х . После второй выплаты сумма долга составит:
а 2 = a 1 m – х=(ат-х)т-х=а 2 -тх-х=ат 2 -(1+т)х
После третьей выплаты сумма оставшегося долга:
По условию Андрей выплатил долг за три года,
то есть а 3 = 0 , откуда.
При x = 3 460 600, k% = 10% , получаем: m = 1,1 и =8 606 000 (рублей).
Ответ: 8 606 000 рублей.
31 декабря 2013 года Игорь взял в банке 100 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Игорь переводит очередной транш. Игорь выплатил кредит за два транша, переведя в первый раз 51 000 рублей, во второй 66 600 рублей. Под какой процент банк выдал кредит Игорю?
Решение
Пусть k % – искомая ставка по кредиту; m = (1 + 0,01 k ) – множитель оставшегося долга; a = 100 000 – сумма, взятая в банке; x 1 = 51 000, x 2 = 66 600 – размеры первого и последнего трáншей.
После первой выплаты сумма долга составит: a 1 = ma – x 1 .
После второй выплаты сумма долга составит: a 2 = ma 1 – x 2 = a m 2 – m x 1 – x 2 . По условию, a 2 = 0 . Уравнение надо будет решить сначала относительно m , разумеется взяв только положительный корень:
100 000m 2 – 51 000m – 66 600 = 0; 500m 2 – 255m – 333 = 0.
Вот где начинаются трудности.
D = 255 2 + 4∙500∙333= 15 2 ∙ 17 2 + 15 2 ∙37∙80= 15 2 (289+ 2 960) = 15 2 ∙3249=15 2 ∙3 2 ∙19 2 .
Тогда.
Ответ: 11%.
31 декабря 2013 года Маша взяла в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на некоторое количество процентов), затем Маша переводит очередной транш. Если она будет платить каждый год по 2 788 425 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 4 991 625, то за 2 года. Под какой процент Маша взяла деньги в банке?
Решение
После двух лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:
После четырех лет выплаты сумма взятого кредита вычисляется по формуле:
Откуда
тогда.
Ответ: 12,5%.
31 декабря 2013 года Ваня взял в банке 9 009 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Ваня переводит в банк платеж. Весь долг Ваня выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа?
Решение
Воспользуемся результатом из задачи 2.
Искомая разность х 3 -х 2 =34 276 800 – 25896800= 1 036 800 рублей.
Ответ: 1 036 00 рублей.
1 июня 2013 года Всеволод Ярославович взял в банке 900 000 рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Всеволод Ярославович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Всеволод Ярославович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 300 000 рублей?
Надо понять простую истину – чем больше будет платеж по кредиту, тем меньше будет долг. Меньше будет долг – быстрее его выплатишь. Максимальный ежемесячный платеж, который может себе позволить кредитор, равен 300 000 рублей согласно условию. Если Всеволод Ярославович будет платить максимальный платеж, то он быстрее всего погасит долг. Другими словами, сможет взять кредит на наименьший период времени, что и требуется условием.
Попробуем решать задачу в лоб.
Прошел месяц. 1 июля 2013 года: долг (1 + 0,01)900 000 – 300 000 = 609 000.
Прошел месяц. 1 августа 2013 года: долг (1+ 0,01)609 000 – 300 000 = 315 090.
Прошел месяц. 1 сентября 2013 года: долг (1 +0,01)315 090 – 300 000= 18 240,9. Прошел месяц. 1 октября 2013 года: долг (1 0,01)1 240,9 = 18 423,309<300 000, кредит погашен. Итого прошло 4 месяца.
Ответ: 4 месяца.
Решим задачу стандартным методом.
Воспользуюсь результатами задачи 3 с учётом следующего рассуждения: неравенство оставшейся части долга имеет вид a x ≤ 0 .
Пусть x – искомая величина, a = 900 000 – сумма, взятая в банке, k% = 1% – ставка по кредиту, y = 300 000 – ежемесячный платеж, m = (1 + 0,01k) – ежемесячный множитель оставшегося долга. Тогда, по уже известной формуле, получим неравенство: ≤0 ;
Получили неприятное неравенство, но верное.
Целую часть числа берем потому, что число платежей не может быть числом не целым. Берем ближайшее большее целое, меньшее взять не можем (потому что тогда останется долг) и видно, что полученный логарифм число не целое. Получается 4 платежа, 4 месяца.
Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год в счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?
Решение:
Сумма кредита на ситуацию не влияет. Возьмём у банка 4 рубля (делится на 4).
Через год долг банку увеличится ровно в х раз и станет равным 4х рублей.
Поделим его на 4 части, вернём 3х рублей и останемся должны х рублей.
Известно, что к концу следующего года придётся выплатить 4·1,21 рублей.
Известно, что и сумма долга за год превратилась из числа х в число х 2 .
Так как долг через два года фермером был полностью погашен, то
х 2 = 4·1,21 х = 2·1,1 х = 2,2
Коэффициент х означает то, что 100% за год превращаются в 220%.
А это означает, что процент годовых у банка такой: 220% - 100%
Ответ: 120%
В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?
Решение:
Пусть фиксированная вносимая сумма х рублей.
Тогда после проведения всех операций, попрошестию первого года, сумма на вкладе стала
+х
После 2 года
После 3 года
После 4 года
После 5 года
Так как к концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%, то составим уравнение:
3900 ·8,25=3900·1,5 5 +х·(1,5 4 +1,5 3 +1,5 2 +1,5) /:1,5
3900·5,5=3900·1,5 4 +х(1,5 3 +1,5 2 +1,5+1)
Ответ: 210рублей.
Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накоплена сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?
Решение:
От суммы вклада ситуация не изменится. Положим в банк 4 рубля (делится на 4).
Через год сумма на счету увеличится ровно в p раз и станет равной 4p рублей.
Поделим её на 4 части, унесём домой p рублей, оставим в банке 3p рублей.
Известно, что к концу следующего года в банке оказалось 4·1,44 = 5,76 рублей.
Итак, число 3p превратилось в число 5,76. Во сколько раз оно увеличилось?
Таким образом, найден второй повышающий коэффициент x банка.
Интересно, что произведение обоих коэффициентов равно 1,92:
Из условия следует, что второй коэффициент на 0,4 больше первого.
p · x = p ·( p +0,4)=1,92
Уже сейчас коэффициенты можно подобрать: 1,2 и 1,6.
Но продолжим, однако, решать уравнение:
10p ·(10p+4)=192 пусть 10p=k
k ·(k+4)=192
k =12, т.е. р=1,2; а х=1,6
Ответ: 60%
В этом уроке мы разберём, как решаются самые сложные задачи про кредиты из ЕГЭ по математике — в них неизвестно время. В первую очередь запомните формулу, связывающую общую сумму кредита, процент, срок и ежемесячные платежи:
$C\cdot {{x}^{n}}=P\cdot \frac{{{x}^{n}}-1}{x-1}$.
Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платёж, а число $n$ — это срок, на который берётся кредит. Именно его мы сегодня и будем искать, для чего нам потребуется выполнить два шага:
- Примерно оценить срок. Для этого достаточно разделить кредит на платёж, а полученное число округлить в большую сторону. Если при делении получилось целое число, просто увеличиваем его на единицу.
- Убедиться, что это число и есть ответ. Для этого придётся посчитать несколько степеней от довольно некрасивых чисел: 1,1; 1,03 и т.д.
Решая эту задачу, всегда помните связь между сроком и размером ежемесячного платежа:
Чем больше срок, тем меньше ежемесячный платёж. И наоборот: чем меньше срок, тем больше платёж.
Кроме того, есть важное правило, которое позволит существенно сократить объём выкладок. Вместо того, чтобы искать значение, скажем${{1,03}^{7}}$, можно найти какую-нибудь промежуточную степень (всё, что больше куба, для этого числа уже считается проблематично), а затем продолжить работу с верхними и нижними оценками этого числа. Что это за оценки и как с помощью них решить задачу 17 вдвое быстрее — смотрите в видеоуроке.:)
Самая сложная задача про кредиты из ЕГЭ
Сегодня мы разберем то, о чем я обещал поговорить еще в прошлом учебном году, когда мы впервые познакомились с задачами с экономическим содержанием из ЕГЭ по математике. Вообще, с момента появления этой задачи в Едином государственном экзамене прошло довольно много времени, и с тех пор такие задачи стали более разнообразными, чем изначально, однако самая сложная и часто встречающаяся задача осталась неизменной. Именно о ней мы сегодня и поговорим. А точнее, речь пойдет о самом сложном варианте этой задачи — о задаче на выплаты и кредиты, когда работает универсальная формула сложных процентов, выведенная в предыдущем видеоуроке, однако неизвестно в этот раз не кредит и не платеж, а именно время, на который взят этот самый кредит.
Формула сложных процентов в математике
Откуда берется эта формула расчета сложных процентов и как вообще все это работает, я подробно объяснял на предыдущем видеоуроке, поэтому если вы его не смотрели, очень рекомендую посмотреть. Однако из того же самого видеоурока возникла куча вопросов и, в частности, разбор самой сложной задачи мы оставили на потом. Именно этим мы сегодня и займемся.
Прежде чем решать эту задачу, давайте запишем нашу классическую формулу расчета сложных процентов, а именно:
Эту формулу мы выводили на одном из предыдущих видеоуроков, ее можно без всяких сомнений использовать на настоящем экзамене, при этом предварительно обосновав примерно так же, как это сделано в предыдущем видеоуроке.
Задача № 1
Итак, экономическая задача, в которой неизвестной искомой величиной является время:
1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,5 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 10 процентов на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 350 тыс. рублей?
Итак, начинаем решать нашу задачу. Во-первых, выпишем все, что нам известно. Прежде всего, нам дан общий объем кредита:
Кредит = 1 500 000
Известно, что ежемесячный платеж не должен превышать 350 тыс. рублей. Давайте так и запишем:
Платеж = 350 000
Кроме того, известен процент. Мы знаем, что если 10% записать в виде коэффициента, то это будет:
Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу вычисления сложных процентов
А то, что нам неизвестно, так это число $n$ в данном уравнении. Давайте подставим все, что мы знаем в формулу сложных процентов и посмотрим, что получится:
Давайте введем замену:
\[{{1,1}^{n}}=t\]
В этом случае получим:
Вспоминаем, что такое $t$. Нам предстоит решить следующее уравнение:
\[{{1,1}^{n}}=1,75\]
Шаг третий: находим наименьшее значение
Если вы попытаетесь решить данное уравнение с помощью калькулятора, то у вас ничего не получится — числа будут либо больше, либо меньше, но точного значения вы не получите. Поэтому давайте еще раз вернемся к условию задачи и прочитаем, что ежемесячные платежи должны составить не более 350 тыс. рублей. Давайте задумаемся: чем на больший срок берется один и тот же кредит, тем меньшими являются ежемесячные платежи. А поскольку нам требуется, чтобы ежемесячные платежи были не более 350 тысяч рублей, то это значит, что срок должен быть не менее чем указанный. На самом деле, с учетом того, что точно этому сроку наше значение не может быть равно, мы получаем, что нам нужно решить не уравнение, а неравенство вида
\[{{1,1}^{n}}>1,75\]
Еще раз внимательно посмотрите на этот переход — это принципиально важный момент во всей задачи. Мы не можем подобрать точное натуральное значение $n$ такое, чтобы $1,1$ в этой степени давала $1,75$, поэтому теперь наша задача — найти минимальное натуральное $n$ такое, чтобы выполнялось это неравенство. Спрашивается: а почему минимальное? Ведь можно взять кредит на 100 лет и тогда уж точно все получится, т.е. ${{1,1}^{n}}$ будет больше, чем $1,75$. Однако нам в задаче требуется найти именно минимальное количество. Поэтому из всех таких $n$, которые удовлетворяют этому неравенству, мы выберем наименьшее, а, по сути, мы сейчас сами найдем это самое наименьшее.
Составим небольшую таблицу.
| месяц $\left(n \right)$ | ${{1,1}^{n}}$ |
| 1 | 1,1 |
| 2 | 1,21 |
| 3 | 1,331 |
| 4 | 1,4641 |
| 5 | 1,61051 |
| 6 | 1,771561 |
И вот мы впервые превзошли искомые ограничения — $1,75$. Обратите внимание: пяти месяцев нам еще недостаточно, потому что коэффициент не достигнет желаемой величины, а шести месяцев уже достаточно, потому что он не только достигнет, но и превзойдет желаемую величину. Поэтому окончательный ответ — шесть месяцев.
Нюансы решения
Как видите, в этом нет ничего сложного, даже если от нас требуется найти именно срок. Единственное, что нас могло смутить — довольно большой объем вычислений в самом конце, когда мы считали степени $1,1$. Однако неудивительно, так как это одна из самых последних и самых сложных задач из ЕГЭ по математике, поэтому если бы здесь было совсем все просто, то за нее не давали бы три первичных балла.
Кроме того, хотел бы обратить ваше внимание на окончательное обоснование ответа. Напоминаю, что мы решаем задачу из второй части: здесь недостаточно написать ответ, а нужно предоставить полное и грамотное обоснование. Итак, возводя в степени, мы в определенный момент получаем такие значения: $1,61051$ и $1,771561$. Возникает вопрос: а почему мы выбрали второе число? Мы решаем данное неравенство, которое было обосновано ранее, и второе значение под наше неравенство уже подходит, потому что
\[{{1,1}^{6}}=1,771561\]
А в $1,75$во втором знаке стоит «пять», т.е. цифра меньше и, следовательно, это число меньше. А вот если мы попытаемся выбрать в качестве ответа пять месяцев и связанный с этим значением коэффициент $1,61051$, то нас этот вариант точно не устроит. Почему? Потому что если мы подставим его в исходную формулу сложных процентов и попытаемся по этим данным посчитать итоговый ежемесячный платеж, то он окажется больше, чем требуемые 350 тыс. рублей.
Для того, чтобы успешно решить эту задачу, в том числе, когда требуется найти срок необходимо учесть два момента:
- Помнить формулу решения сложных процентов и желательно уметь выводить ее на экзамене.
- Помнить зависимость между сроками и размерами платежей. Зависимость обратно пропорциональная: чем больше срок, тем меньше ежемесячный платеж и наоборот — чем больше ежемесячный платеж, тем меньше срок, в течение которого придется выплачивать один и тот же кредит.
Задача № 2
1 января 2015 года пенсионерка взяла в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), а затем пенсионерка переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев пенсионерка может взять кредит, чтобы ежемесячные платежи составили не более 220 тыс. рублей?
На первый взгляд задача ничем не отличается от предыдущей. Разве что пенсионерка стала более разумной, поэтому взяла лишь 1,1 млн. и, кроме того, процент в месяц составляет лишь 3%, а не 10%, и ежемесячные платежи должны составлять не более 220 тыс. рублей.
Шаг первый: выписываем известные данные
Вновь запишем нашу формулу сложных процентов:
Где $C$ — общая сумма кредита, $x$ — процент, $P$ — ежемесячный платеж, $n$ — срок, на который берется кредит.
Давайте запишем известные данные:
Кредит = 1100000
Платеж = 220000
Шаг второй: составляем уравнение, используя формулу расчета сложных процентов
Подставляем все эти данные в формулу. Вновь нам неизвестен срок, т.е. $n$:
\[{{1,3}^{n}}=2\cdot \left(1,03-1 \right)\cdot \frac{10}{3}\left| 3 \right.\]
Введем замену:
\[{{1,03}^{n}}=t\]
И вот тут мы натыкаемся на первую проблему, которой в предыдущей задачи не было: $\frac{20}{17}$ не переводится в «красивую» десятичную дробь, а нам нужна именно десятичная дробь, потому что когда мы сделаем таблицу, то будем возводить $1,03$ в разные степени, а она, будучи десятичной дробью в разных степенях, тоже будет давать десятичные дроби. На самом деле выход просто: просто разделим и оставим первые четыре знака:
\[\frac{20}{17}=1,17647...\]
Возвращаясь к нашей задаче, мы получим следующее:
Приравняем обе части:
\[{{1,03}^{n}}=1,17647...\]
По аналогии с предыдущей задачей несложно заметить, что нет такого натурального $n$, чтобы $1,03$ в этой степени давало нам $1,17647...$, поэтому мы спокойно заменяем наше равенство знаком неравенства:
\[{{1,03}^{n}}>1,17647...\]
При этом при решении данного неравенства в ответ пойдет наименьшее $n$. Давайте снова составим таблицу, где слева мы снова будем писать месяцы, а справа — коэффициент:
| месяц $\left(n \right)$ | ${{1,03}^{n}}$ |
| 1 | 1,03 |
| 2 | 1,0609 |
| 3 | 1,092727 |
| 4 | |
| 5 | |
| 6 |
Шаг четвертый: находим верхнюю и нижнюю оценку, используя «метод оценок»
Мы столкнулись с еще одной проблемой: по мере роста номера месяца объем вычислений становится просто катастрофическим, поэтому дальнейшие вычисления нужно выполнять с помощью какого-то другого инструмента, иначе мы просто утонем в объеме выкладок. Эта проблема характерна для всех задач, в которых процент меньше десяти. Поэтому как только вы видите маленькие проценты, не думайте, что вам попалась легкая задача, наоборот — будут проблемы. Однако все эти проблемы легко решаются при помощи замечательного инструмента под названием «метод оценок». Сейчас я вам расскажу, что это такое и как его применять на примере данной задачи.
Итак, нам необходимо найти четвертую, пятую и шестую степень числа $1,03$. Мы находили при помощи предыдущей, умножая ее на $1,03$. Однако уже на третьем шаге объем вычислений оказался достаточно большим. Поэтому чтобы не утонуть в вычислениях, выполним следующую манипуляцию: давайте посмотрим на числа, которые у нас получились при возведении в квадрат и в третью степень. Сначала рассмотрим, что получилось в квадрате:
\[{{1,03}^{2}}=1,0609\]
Давайте отсечем два знака после запятой и запишем просто $1,06$. То же самое сделаем с третьей степенью, в которой мы получили такое выражение:
\[{{1,03}^{3}}=1,092727\]
Отсечем два знака после запятой и получим $1,09$. В обоих случаях мы берем лишь первые два знака. Что нам это даст? Дело в том, что в любом случае $1,0609$, т.е. истинное значение второй степени будет больше, чем только что найденное значение:
Аналогично можно сказать и про третью степень:
А теперь возьмем и к этим числам в последнем разряде прибавим «единицу». Получим:
Замечательное свойство этих чисел состоит в том, что в первом случае
А вот втором случае будет следующее неравенство:
Давайте запишем вот так:
Полученные значения называются верхней и нижней оценкой или округлением с недостатком и округлением с избытком. И вместо того, чтобы мучится с огромным объемом вычислений, мы будем просто перемножать эти числа. Каким образом и на каком основании? Давайте заметим следующее:
\[{{1,03}^{4}}={{1,03}^{2}}\cdot {{1,03}^{2}}\]
\[{{1,03}^{5}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{2}}\]
\[{{1,03}^{6}}={{1,03}^{3}}\cdot {{1,03}^{3}}\]
Шаг пятый: находим наименьшее значение
Давайте заполним таблицу до конца:
| месяц $\left(n \right)$ | ${{1,03}^{n}}$ |
| 1 | 1,03 |
| 2 | 1,0609 |
| 3 | 1,092727 |
| 4 | $1,06\cdot 1,06<*<1,07\cdot 1,07$ |
| 5 | $1,06\cdot 1,09<*<1,07\cdot 1,1$ |
| 6 | ${{1,09}^{2}}<*<{{1,1}^{2}}$ |
Что дают нам все эти верхние и нижние оценки? Во-первых, существенно сокращается объем вычислений, а, во-вторых, давайте посмотрим на последние значения:\[{{1,1}^{2}}=1,21\]
\[{{1,09}^{2}}=1,1881\]
Что это значит? А то, что для $n=6$ мы уже точно превзойдем искомую величину. Мы уже знаем, что
\[{{1,03}^{n}}=1,17647<1,1881<{{1,03}^{6}}<1,21\]
В принципе, «шесть» нас уже устраивает — это кандидат в ответ. Но проблема в том, что в задаче от нас требуется найти минимальное количество месяцев. А что, если минимальное количество месяцев будет «пять»? Давайте посчитаем и повторим все те же вычисления для «пяти»:
Но такие оценки нам ничего не дадут. Почему? Потому что если мы начертим числовую прямую и отметим на ней нижнюю и верхнюю оценки, то получим следующее: между $1,1554$ и $1,177$ находится ${{1,03}^{5}}$. Но также между ними есть и $1,17647$, которое мы должны превзойти. Если это число лежит правее $1,17647$, то нас все устраивает, и ответом будет «пять». Однако если оно будет левее, то «пять» нас не устраивает и ответом будет «шесть». Как же проверить, какое из чисел нас устраивает? К сожалению, в рамках верхних и нижних оценок, которые мы записали, ответить на этот вопрос невозможно – нам просто не хватает точности. Поэтому давайте еще раз выпишем значения для $n=2$ и $n=3$.
Таким образом, какой бы не было $n$ в выражение ${{1,03}^{n}}$, оно в любом случае будет больше, чем $1,06\cdot 1,092$, но в любом случае меньше, чем $1,061\cdot 1,093$.
Запишем вычисления:
Это значит, что наши предположения верны. Искомое значение, если вновь попытаться начертить его на числовой прямой, будет снизу ограничено $1,1554$, а сверху —$1,159673$. Т.е. ${{1,03}^{5}}$ будет заведомо меньше, чем $1,159673$ и уж тем более меньше, чем $1,17647...$А это значит, что наше исходное предположение о том, что при $n=5$ мы уже превзойдем величину $1,17647...$ неверно. А это значит, что пятый месяц нас все еще не устроит. А вот шестой месяц, о котором мы сначала и подумали, действительно является таковым. Итого, окончательный ответ — шесть. Задача решена и полностью обоснована.
Полезные советы при решении задач с использованием формулы сложных процентов
Самое главное в это задаче — это понять, чем оценки отличаются от округления. Мы берем две цифры после запятой, отсекаем все, что идет после них, и записываем эти числа слева. Очевидно, что поскольку дальше идут какие-то цифры в настоящем числе, это число будет то, что мы получили слева (см. таблицу). Эти числа, которые находятся слева, и называются меньшими оценками. Затем к ним мы в самом последнем разряде (к последней цифре) прибавляем «единицу», и получаем число, на единицу большее в конце, например, было $1,06$ стало $1,07$ и т.д. Это будут верхние оценки. И далее, что бы мы не делали, какую бы степень и номер месяца не считали, все равно истинное значение нашей величины будет заключено между степенями верхней и нижней оценок.
Но есть одна проблема: в определенный момент мы получаем, что и число, и искомая величина лежат в одних и тех же пределах. Пределы получены, разумеется, при вычислении степеней оценок. В нашей ситуации такая проблема возникла в вычислениях значения для пятого месяца: левая оценка дала нам $1,1554$, а правая — $1,177$. Между этими двумя числами лежит как искомая величина, которую мы не знаем, так и наше искомое значение, т.е. ${{1,03}^{n}}$. Выход из такой ситуации напрашивается сам собой: если нам не хватает точности, то необходимо просто увеличить точность исходных оценок, т.е. после запятой мы берем не две, а три цифры. Но поскольку нас интересуют, прежде всего, верхние оценки, мы увеличим каждое из этих чисел на единицу в разряде, запишем и перемножим. В результате мы получим следующее: новая верхняя оценка для нашего числа, для пятого месяца, будет лежать между $1,1554$ и $1,159673$.
На самом деле, пятый месяц даст коэффициент, который будет находиться в вышеуказанном диапазоне, что явно меньше, чем искомая величина $1,174647...$ На первый взгляд может показаться, что сложность и объем всех этих вычислений будет существенно больше, чем если бы мы просто возвели числа в степень квадрат, куб и т.д. На самом деле это не так. Уже на третьей и четвертой степенях возникают большие числа, а до пятого и шестого месяца вы просто не дойдете.
Как определить кандидата в ответ, исходя из условия задачи
В качестве заключительного аккорда сегодняшнего видеоурока я хотел бы вам рассказать еще один довольно хитрый инструмент, который позволит еще с первого взгляда на задачу уже примерно оценить, какой месяц предстоит считать и какой месяц, скорее всего, является кандидатом в ответ.
Давайте посмотрим на исходную формулу. Всего объем кредит, который предстоит выплатить, составляет 1,1 млн. при этом ежемесячно нужно выплачивать по 220 тыс. рублей. Давайте разделим общий размер задолженности на ежемесячный платеж. В этом случае мы получим количество месяцев, которые необходимо будет потратить на выплату кредита, если бы на нас не начислялись проценты. Однако сами по себе проценты невелики — в нашем случае всего 3% в месяц. Это значит, что вряд ли накопится задолженность еще больше, чем на один месяц и, следовательно, нужно прибавить к полученной величине еще единицу, и мы получим наиболее вероятный кандидат на ответ.
В нашем случае, если 1,1млн. разделить на 220 тыс., то мы получим пять месяцев, но без учета начисленных процентов. Соответственно, еще один месяц потребуется на то, чтобы погасить проценты. И мы получим тот же самый ответ.
Однако хочу вас предупредить, что ни в коем случае нельзя использовать этот прием как единственно возможное обоснование того ответа, который у вас получается в задаче! Потому что мы решаем одну из самых сложных задач ЕГЭ: там требуется привести не только ответ, но и все подробные выкладки и обоснования. Такой прием — это лишь подсказка для нас самих, для того, чтобы понимать, какие именно месяцы, какие именно степени считать. Дальнейшим шагом нужно доказать, что, например, число, равное пяти месяцам, нас не устраивает, а шести месяцев точно устраивает. Каким образом можно это сделать. Например, с помощью числовой прямой, более точных вычислений, метода оценок или как вам будет удобнее. В любом случае, мы с учениками недавно убедились, что эта подсказка существенно облегчает выкладки и хотя бы дает представление о том, каким должен быть ответ.
Тренируйтесь, решайте задачи, оттачивайте навык с вычислением верхних и нижних оценок. Это далеко не последний урок на решение задач с экономическим содержанием, поскольку самих задач стало довольно много, и их условия стали более разнообразные. Поэтому оставайтесь с нами!
Смотри также видео "Текстовые задачи на ЕГЭ по математике" .
Текстовая задача - это не только задача на движение и работу. Есть еще задания на проценты, на растворы, сплавы и смеси, на движение по окружности и нахождение средней скорости. О них мы и расскажем.
Начнем с задач на проценты. С этой темой мы уже познакомились в задаче 1 . В частности, сформулировали важное правило: за мы принимаем ту величину, с которой сравниваем.
Мы также вывели полезные формулы:
если величину увеличить на процентов, получим .
если величину уменьшить на процентов, получим .
если величину увеличить на процентов, а затем уменьшить на , получим .
если величину дважды увеличить на процентов, получим
если величину дважды уменьшить на процентов, получим
Воспользуемся ими для решения задач.
В году в городском квартале проживало человек. В году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на , а в году - на по сравнению с годом. Сколько человек стало проживать в квартале в году?
По условию, в году число жителей выросло на , то есть стало равно человек.
А в году число жителей выросло на , теперь уже по сравнению с годом. Получаем, что в году в квартале стало проживать жителей.
Следующая задача предлагалась на пробном ЕГЭ по математике в декабре года. Она проста, но справились с ней немногие.
В понедельник акции компании подорожали на некоторое количество процентов, а во вторник подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на дешевле, чем при открытии торгов в понедельник. На сколько процентов подорожали акции компании в понедельник?
На первый взгляд кажется, что в условии ошибка и цена акций вообще не должна измениться. Ведь они подорожали и подешевели на одно и то же число процентов! Но не будем спешить. Пусть при открытии торгов в понедельник акции стоили рублей. К вечеру понедельника они подорожали на и стали стоить . Теперь уже эта величина принимается за , и к вечеру вторника акции подешевели на по сравнению этой величиной. Соберем данные в таблицу:
| в понедельник утром | в понедельник вечером | во вторник вечером | |
| Стоимость акций |
По условию, акции в итоге подешевели на .
Получаем, что
Поделим обе части уравнения на (ведь он не равен нулю) и применим в левой части формулу сокращенного умножения.
По смыслу задачи, величина положительна.
Получаем, что .
Цена холодильника в магазине ежегодно уменьшается на одно и то же число процентов от предыдущей цены. Определите, на сколько процентов каждый год уменьшалась цена холодильника, если, выставленный на продажу за рублей, через два года был продан за рублей.
Эта задача тоже решается по одной из формул, приведенных в начале статьи. Холодильник стоил рублей. Его цена два раза уменьшилась на , и теперь она равна
Четыре рубашки дешевле куртки на . На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?
Пусть стоимость рубашки равна , стоимость куртки . Как всегда, принимаем за сто процентов ту величину, с которой сравниваем, то есть цену куртки. Тогда стоимость четырех рубашек составляет от цены куртки, то есть
.
Стоимость одной рубашки - в раза меньше:
,
а стоимость пяти рубашек:
Получили, что пять рубашек на дороже куртки.
Ответ: .
Семья состоит из мужа, жены и их дочери студентки. Если бы зарплата мужа увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на . Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на . Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата жены?
Нарисуем таблицу. Ситуации, о которых говорится в задаче («если бы зарплата мужа увеличилась, если бы стипендия дочки уменьшилась...») назовем «ситуация » и «ситуация ».
| муж | жена | дочь | Общий доход | |
| В реальности | ||||
| Ситуация | ||||
| Ситуация |
Осталось записать систему уравнений.
Но что же мы видим? Два уравнения и три неизвестных! Мы не сможем найти , и по отдельности. Правда, нам это и не нужно. Лучше возьмем первое уравнение и из обеих его частей вычтем сумму . Получим:
Это значит, что зарплата мужа составляет от общего дохода семьи.
Во втором уравнении мы тоже вычтем из обеих частей выражение , упростим и получим, что
Значит, стипендия дочки составляет от общего дохода семьи. Тогда зарплата жены составляет общего дохода.
Ответ: .
Следующий тип задач - задачи на растворы, смеси и сплавы. Они встречаются не только в математике, но и в химии. Мы расскажем о самом простом способе их решения.
В сосуд, содержащий литров -процентного водного раствора некоторого вещества, добавили литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В решении подобных задач помогает картинка. Изобразим сосуд с раствором схематично - так, как будто вещество и вода в нем не перемешаны между собой, а отделены друг от друга, как в коктейле. И подпишем, сколько литров содержат сосуды и сколько в них процентов вещества. Концентрацию получившегося раствора обозначим .
Первый сосуд содержал литра вещества. Во втором сосуде была только вода. Значит, в третьем сосуде столько же литров вещества, сколько и в первом:
.
Смешали некоторое количество -процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством -процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Пусть масса первого раствора равна . Масса второго - тоже . В результате получили раствор массой . Рисуем картинку.
Получаем:
Ответ: .
Виноград содержит влаги, а изюм - . Сколько килограммов винограда требуется для получения килограммов изюма?
Внимание! Если вам встретилась задача «о продуктах», то есть такая, где из винограда получается изюм, из абрикосов урюк, из хлеба сухари или из молока творог - знайте, что на самом деле это задача на растворы. Виноград мы тоже можем условно изобразить как раствор. В нем есть вода и «сухое вещество». У «сухого вещества» сложный химический состав, а по его вкусу, цвету и запаху мы могли бы понять, что это именно виноград, а не картошка. Изюм получается, когда из винограда испаряется вода. При этом количество «сухого вещества» остается постоянным. В винограде содержалось воды, значит, «сухого вещества» было . В изюме воды и «сухого вещества». Пусть из кг винограда получилось кг изюма. Тогда
От от
Составим уравнение:
и найдем .
Ответ: .
Имеется два сплава. Первый сплав содержит никеля, второй - никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой кг, содержащий никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?
Пусть масса первого сплава равна x, а масса второго равна y. В результате получили сплав массой .
Запишем простую систему уравнений:
Первое уравнение - масса получившегося сплава, второе - масса никеля.
Решая, получим, что .
Ответ: .
Смешав -процентный и -процентный растворы кислоты и добавив кг чистой воды, получили -процентный раствор кислоты. Если бы вместо кг воды добавили кг -процентного раствора той же кислоты, то получили бы -процентный раствор кислоты. Сколько килограммов -процентного раствора использовали для получения смеси?
Пусть масса первого раствора , масса второго равна . Масса получившегося раствора равна . Запишем два уравнения, для количества кислоты.
Решаем получившуюся систему. Сразу умножим обе части уравнений на , поскольку с целыми коэффициентами удобнее работать, чем с дробными. Раскроем скобки.
Ответ: .
Задачи на движение по окружности также оказались сложными для многих школьников. Решаются они почти так же, как и обычные задачи на движение. В них тоже применяется формула . Но есть одна хитрость, о которой мы расскажем.
Из пункта круговой трассы выехал велосипедист, а через минут следом за ним отправился мотоциклист. Через минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за и . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через минут, то есть через часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути минут, то есть часа.
Запишем эти данные в таблицу:
| велосипедист | |||
| мотоциклист |
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть .
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через минут, то есть через часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
| велосипедист | |||
| мотоциклист |
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг - это длина трассы, она равна км. Получим второе уравнение:
Решим получившуюся систему.
Получим, что . В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Ответ: .
Часы со стрелками показывают часов минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение - взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через часа, ровно в ..
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая часть круга. Пусть их скорости равны (круг в час) и (круга в час). Старт - в .. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на круга больше, поэтому уравнение будет таким:
Решив его, получим, что часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через часа. Пусть во второй раз они поравняются через время . Минутная стрелка пройдет расстояние , а часовая , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
Решив его, получим, что часа. Итак, через часа стрелки поравняются во второй раз, еще через часа - в третий, и еще через часа - в четвертый.
Значит, если старт был в ., то в четвертый раз стрелки поравняются через
часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)
На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:
,
где - средняя скорость, - общий путь, - общее время.
Если участков пути было два, то
Путешественник переплыл море на яхте со средней скоростью км/ч. Обратно он летел на спортивном самолете со скоростью км/ч. Найдите среднюю скорость путешественника на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Мы не знаем, каким было расстояние, которое преодолел путешественник. Знаем только, что это расстояние было одинаковым на пути туда и обратно. Для простоты примем это расстояние за (одно море). Тогда время, которое путешественник плыл на яхте, равно , а время, затраченное на полет, равно . Общее время равно .
Средняя скорость равна км/ч.
Ответ: .
Покажем еще один эффектный прием, помогающий быстро решить систему уравнений в задаче 13.
Андрей и Паша красят забор за часов. Паша и Володя красят этот же забор за часов, а Володя и Андрей - за часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроем?
Мы уже решали задачи на работу и производительность . Правила те же. Отличие лишь в том, что здесь работают трое, и переменных будет тоже три. Пусть - производительность Андрея, - производительность Паши, а - производительность Володи. Забор, то есть величину работы, примем за - ведь мы ничего не можем сказать о его размере.
| производительность | работа | |
| Андрей | ||
| Паша | ||
| Володя | ||
| Вместе |
Андрей и Паша покрасили забор за часов. Мы помним, что при совместной работе производительности складываются. Запишем уравнение:
Аналогично,
Тогда
.
Можно искать , и по отдельности, но лучше просто сложить все три уравнения. Получим, что
Значит, работая втроем, Андрей, Паша и Володя красят за час одну восьмую часть забора. Весь забор они покрасят за часов.
Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.
Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.
Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.
Вкладываем деньги в банк
Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.
Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:
\[\frac{20}{3}=6,....\to 7\]
Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:
Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:
В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:
В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:
Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:
\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]
Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:
\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]
А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:
\[\begin{align}& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left(3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot {{1,15}^{3}}+3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left({{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} \right) \\\end{align}\]
Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.
Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:
Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.
Обратите внимание: формула n -го элемента звучит следующим образом:
\[{{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}\]
Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n- элементов, а сам n -й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:
\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1 \\& q=1,15 \\\end{align}\]
\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}\]
Посчитаем числитель отдельно:
\[{{1,15}^{4}}={{\left({{1,15}^{2}} \right)}^{2}}={{\left(1,3225 \right)}^{2}}=1,74900625\approx 1,75\]
Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:
\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{1,75-1}{0,15}=\frac{0,75}{0,15}=\frac{75}{15}=5\]
В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:
4 года → 5 раз
Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:
5 лет → 6,7 раз
Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:
Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.
Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.
К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.
А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:
\[\text{Vklad}=\text{platezh}\frac{{{\text{%}}^{n}}-1}{\text{%}-1}\]
Сам по себе % считается по следующей формуле:
Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.
Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?
У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.
Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.
Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.
Проценты по кредитам
С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.
Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.
Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.
Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:
Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:
В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:
Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:
\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]
И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.
Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]
И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:
\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]
Давайте решать:
\[\begin{align}& \left(2m\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}- x\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\cdot {{1,2}^{2}}+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\left({{1,2}^{2}}+1,2+1 \right) \\\end{align}\]
Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:
Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:
\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1; \\& q=1,2 \\\end{align}\]
Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:
\[{{S}_{3}}=1\cdot \frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}\]
Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left({{b}_{1}};q \right)$ считается по формуле:
\[{{S}_{n}}={{b}_{1}}\cdot \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\]
Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:
Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:
\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:
По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:
Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.
Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.
Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.
Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.
Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике
Пример № 1
Итак, первая задача:
31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?
Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:
Кредит нам известен — 9282000 рублей.
С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:
Мы можем составить уравнение:
У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:
$\begin{align}& {{1,1}^{4}}={{\left({{1,1}^{2}} \right)}^{2}} \\& 1,1\cdot 1,1=1,21 \\& {{1,1}^{4}}=1,4641 \\\end{align}$
Теперь перепишем уравнение:
\[\begin{align}& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{1,4641-1}{0,1} \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{0,4641}{0,1}|:10000 \\& 9282000\cdot \frac{14641}{10000}=x\cdot \frac{4641}{1000} \\& \frac{9282\cdot 14641}{10}=x\cdot \frac{4641}{1000}|:\frac{4641}{1000} \\& x=\frac{9282\cdot 14641}{10}\cdot \frac{1000}{4641} \\& x=\frac{2\cdot 14641\cdot 1000}{10} \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end{align}\]\[\]
Все, наша задача с процентами решена.
Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.
Пример № 2
31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.
Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:
\[\]\
Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:
Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:
Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:
\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2\cdot {{1,2}^{2}} \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]
Переписываем наше выражение:
\[\begin{align}& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac{1,728-1}{0,2} \\& 4004000\cdot \frac{1728}{1000}=x\cdot \frac{728}{200}|:\frac{728}{200} \\& x=\frac{4004\cdot 1728\cdot 200}{728} \\& x=\frac{4004\cdot 216\cdot 200}{91} \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end{align}\]
Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:
Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.
Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:
\[\begin{align}& 4004000\cdot {{1,2}^{2}}=x\cdot \frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \\& 4004000\cdot \frac{144}{100}=x\cdot \frac{11}{5}|\cdot \frac{5}{11} \\& x=\frac{40040\cdot 144\cdot 5}{11} \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end{align}\]
Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:
Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:
Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.
Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.
Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.
Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.
Пример № 3
Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.
31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?
Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:
Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:
Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:
\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]
Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:
\[\begin{align}& x\cdot \frac{12769}{10000}=5107600\cdot \frac{1,2769-1}{0,13} \\& x\cdot \frac{12769}{10000}=\frac{5107600\cdot 2769}{1300}|:\frac{12769}{10000} \\& x=\frac{51076\cdot 2769}{13}\cdot \frac{10000}{12769} \\& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end{align}\]
Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.
Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.
В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.
Загрузка...